Изречения и суждения о математике и математиках

Математик, поскольку он ощущает в себе красоту истинного, совершенен лишь в той степени, в какой он сам является совершенным человеком. Лишь тогда будет он действовать основательно, проницательно, осмотрительно, чисто, ясно, привлекательно, даже элегантно. Все это необходимо для того, чтобы стать подобным Лагранжу. (И.В. Гёте)

Царство математики — количественное, все то, что можно определить числом и мерой, т.е. до известной степени — внешним образом познаваемая вселенная. Но если мы станем, поскольку нам дана эта способность, рассматривать её всей полнотой нашего духа и всеми нашими силами, то мы признаем, что количество и качество должны считаться двумя полюсами являющегося бытия. Потому-то математик так высоко развивает свой язык формул. Его задача — насколько это возможно — понять в измеримом и неисчислимом мире одновременно и мир неизмеримый. И когда все представляется ему осязаемым, понятным и механическим, то его «заподазривают» в тайном атеизме, так как при этом он ведь думает охватить и самое неизмеримое, которое мы называем богом, и потому отбрасывает его особое или преимущественное бытие. (И.В. Гёте)

Явление симметрии, только отчасти захваченное математической мыслью, вошло в науку в связи с тем чувством красоты, которое проявилось в человечестве многие тысячи лет назад. (В.И. Вернадский)

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным. (Б. Паскаль)

Между духом и материей посредничает математика. (Хуго Штейнхаус)

Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают. (А.Н. Колмогоров)

 Умственный труд на уроках математики — пробный камень мышления. (В.А. Сухомлинский)

Математика является меньше знанием, чем умением. Вот почему она может развить свойства ума и характера, связанные с навыками к абстракции, к строгой, целеустремленной дисциплине и выражению на различных языках (языке общения, фигур, формул и графиков), со схематической мыслью, сжатой и четкой. С выдающейся культурной ценностью математики может сравниться лишь ценность её как орудия нашего воздействия на реальный мир. (В. Серве)

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна)

Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. (Бертран Рассел)

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. (Хуго Штейнхаус)

В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её и поэтому знаем, что она должна быть достоверной. (Некий профессор математики об одной из теорем Л. Эйлера)

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру. (Альберт Эйнштейн)

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять её хотя бы наполовину. (Славомир Врублевский)

Арифметику невозможно понять, в неё приходится верить. (Мария Кунцевич)

Любая формула, включенная в книгу, уменьшает число её покупателей вдвое. (Стивен Хокинг)

Математика — самая надежная форма пророчества. (В. Швебель)

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. (И. Кант)

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.  (А. Пуанкаре)

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете)

Математика — единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. (А. Эйнштейн)

В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. (Артур Шопенгауэр)

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. (Т. Вейерштрасс)

Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности. (В.И. Ленин)

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. «А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.»

А математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)

Психология математического творчества таит еще свои великие проблемы. (Ф. Клейн)

Наибольшую радость телу дает свет солнца, наибольшую радость духу — ясность математической истины. Вот почему науку о перспективе, в которой созерцание светлой линии — величайшая отрада глаз — соединяется с ясностью математики — величайшею отрадою ума, — должно предпочитать всем остальным человеческим исследованиям и наукам. (Леонардо да Винчи)

Тот, кто порочит высшую достоверность математики, тот питается сумбуром. (Леонардо да Винчи)

Математика представляется силой человеческого духа, призванной вознаградить нас за несовершенство наших чувств и за краткость нашей жизни. (Ж. Фурье)

Математика служит единственно для похвалы человеческого духа. (К. Якоби)

 Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечном. (А. Пуанкаре)

 Давайте считать, что мы, математики, стоим на высочайшей вершине развития точных наук. Мы не должны забывать про это место, потому что любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различие между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас… Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну. (Д. Гилберт)

 Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и незнаем, истинно ли то, что мы говорим. (Б. Рассел)

 На вопрос «Что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие её элементы. (Р. Курант)

Все полагают, что математика наука сухая, скучная, состоящая только в умении считать. Это нелепость. Цифры в математике играют самую ничтожную, самую последнюю роль. Это — высшая философская наука, наука величайших поэтов. (М.В. Остроградский)

 Математика — это то, посредством чего люди управляют природой и собой. (А.Н. Колмогоров)

 Близость тех структур, которые изучаются в математических теориях, является своеобразным отражением единства материального мира в математической абстракции. (А.А. Ляпунов)

 Строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз и навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров. В конечном счете источник жизненности математики заключается в том, что её понятия и выводы при всей своей отвлеченности исходят, как мы убедимся, из действительности и находят широкое применение в других науках, в технике, во всей жизненной практике; это — самое главное для понимания математики. (А.Д. Александров)

 Все положения, которые выставляют ученые, начинающиеся числами, будут правильны и относительно чувственных вещей. (Аристотель)

 Заблуждаются те, кто считает, что математика ничего не говорит о прекрасном или о благом. На самом деле он говорит прежде всего о нем и выявляет его… А важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность, математика больше всего и выявляет именно их. (Аристотель)

 Так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начла началами всего существующего. А так как среди этих начал числа от природы суть первое… то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. (Аристотель)

Изучение математики приближает к бессмертным богам. (Платон)

Арифметика подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счета, причем заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел — не ради купли-продажи, о чем заботятся купцы и торговцы, но для военных целей и чтобы облегчить самой душе её обращение от становления истинному бытию. (Платон)

 В изучении природы математика делает наибольший вклад, так как она раскрывает упорядоченную связь идей, согласно которым устроена Вселенная. (Прокл Диадох)

 Что касается математики, то к этой науке относится арифметика, геометрия и астрономия. Последние же не имеют никакого отношения к религиозным предметам — ни в смысле отрицания таковых, ни в смысле утверждения. Это доказательные предметы, отрицание которых становится невозможным после того, как они поняты и усвоены. (Газали)

 Раздел философии, называемый математикой, является самым легким из всех разделов с точки зрения представления и доказательств… Этот раздел философии сообщает нам гибкость, укрепляет соображение, приучает нас ненавидеть недосказанное, та как его исходные положения общеизвестны, доказательства легки, в нем воображение помогает разуму и мало противоречивого. (О. Хайям)

Кто пренебрегает достижениями математики, тот приносит вред всей науке, так как тот, кто не знает математики, не может изучить другие точные науки и не может познать мир. (Р. Бэкон)

 Познание многих превосходных источников мудрости зависит от владения языками, благодаря которому открывается доступ к мудрости латинян, я хочу изложить основания той же мудрости в тех великих науках, в которых заключена особая сила в отношении прочих наук и мирских дел… Врата и ключ этих наук — математика… Не зная её, нельзя знать… ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства… (Р. Бэкон)

 В старину задавали математические задачи боги, как, например, удвоение куба, по поводу размеров Дельфийского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика. (П.Л. Чебышев)

 Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения — дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постижение законов истории. (Л.Н. Толстой)

Модель — это основная форма, при помощи которой математика связана с внешним миром. (Ю.А. Митропольский)

Каждый раз, когда та или иная наука переходит от этапа простого созерцания действительности к этапу абстрактного мышления, осознавания этой действительности на абстрактном уровне, неизбежно возникают предпосылки для использования в науке математических методов. (В.М. Глушков)

Моделирование стоит рядом с геометрическим толкованием и ¦представляет еще высшую степень наглядности. (Н.Е. Жуковский)

Утверждая, что геометрический метод применим не ко всему, ошибаются, — но правы, когда говорят, что его не следует применять ко всему. Всякий предмет должен быть трактуем по-своему. Геометрический метод слишком сух, чтобы применить его к обучению манерам, и наш язык слишком несовершенен, чтобы целиком ему следовать… Но если приходится порою отказываться от применения его, то все же следует помнить о нем; это своего рода компас для ума и узда для воображения. (Д. Дидро)

 Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математики дисциплинировать ум. (В. Шрадер)

 Если математика, столь свойственная уму человеческому, остается для многих безуспешной, то это по справедливости должно приписать недостаткам в искусстве и способе преподавания. (Н.И. Лобачевский)

Многое из математики не остается в памяти, но когда поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое. (М.В. Остроградский)

Тех… кто занимается преподаванием математики, можно сравнить с дорожным указателем: они должны одной стрелкой указывать в уже пройденное прошлое, другой — в еще не изведанное будущее. (Г. Штейнгауз)

 Математическая теорема выражает чисто эмпирический факт, а именно успех некоторого построения… Математика есть изучение некоторых функций человеческого мозга. (А. Гейтинг)

 Если обоснование всякого рода вычислений на машинах и является одной из функций математики, сама математика ни в коей мере не сводится к этим вычислениям — та же как и математическая одаренность не сводится умению быстро и точно считать. (П.С. Александров)

 Вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы… Во-первых, это противоречия и абсурдные утверждения, которые являются следствием неправильного рассуждения. Во-вторых, это теоремы, которые кажутся странными и невероятными, но которые будучи доказанными логически безукоризненно должны быть приняты как верны, несмотря на то что они выходят за пределы нашей интуиции и воображения. Третий и наиболее важный тип парадоксов связан с теорией множеств, такого типа парадоксы привели к пересмотру оснований математики. (Дж. Ньюмен)

Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают е наукой сухой и бесплодной. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел — это одно и то же. Мне кажется, что поэт должен видеть, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен и математик. (С.В. Ковалевская)

Математическая работа не простой механический труд, её не может произвести машина, какой бы совершенной мы е себе не воображали. (А. Пуанкаре)

Математика имеет тройную цель. Она должна давать орудия для изучения природы. Кроме того, у неё есть философская направленность и, смею сказать, — эстетическая. Она должна поощрять философа к исследованию идеи числа, пространства и времени; к тому же знатокам она дарует наслаждение, похожее на то, которое получают от живописи и музыки. Они восхищаются стройной гармонией чисел и форм; их поражает, когда новое открытие развертывает пред ними неожиданные перспективы: а разве не имеет эстетического характера полученное ими удовольствие, хоть чувства и не принимают участия в этом процессе? Правда, лишь немногим избранным дарована привилегия чувствовать это в полной мере; но разве не так же дело обстоит и со всеми высокими искусствами? Поэтому я без тени колебания сажу, что математику стоит лелеять ради неё самой, а теории, не находящие применения в физике, нужно изучать так же, как и любые другие. (А. Пуанкаре)

Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой — той холодной терпкой красотой, какой обладает искусство ваяния, — без обращения к какой бы то ни было слабейшей части нашей натуры, без блестящего внешнего оформления живописи или музыки, и все же красотой такой возвышенной чистоты и такого строгого совершенства, какие может нам явить только величайшее искусство. (Б. Рассел)

Человек, для которого то, что дважды два четыре — само собой разумеется, никогда не станет великим математиком. (Б. Брехт)

Если в основе музыкальной гармонии или форм изобразительного искусства обнаруживается математическая структура, то рациональный порядок окружающей нас природы должен иметь свою основу в математической сущности законов природы. Такое убеждение впервые нашло свое выражение в пифагорейском учении о гармонии сфер и в том, что элементам были присвоены правильные формы. (В. Гейзенберг)

Кто хотя бы один раз убедился в творческой силе математических построений, тот будет замечать их действие на каждом шагу как в области природы, так и в области искусства. (В. Гейзенберг)

Люди, которые имеют много дела с математикой, в конце концов приобретают чувство математического изящества используемых приемов, они становятся способными чувствовать математическую красоту теорий. Естественно, что такое изящество нелегко усвоить. Это скорее эмоция. (П. Дирак)

Логика — это гигиена для математиков, но не она питает его: хлебом насущным для него являются значительные проблемы. (А. Вейль)

Хорошая музыка, — «дар божественных звучаний», — она строится со строгой выдержанностью формы. В фугах Баха, как в алгоритме, как в формуле, заключена строжайшая последовательность. В этой строгости — существенный источник их впечатляющей силы. Так и в строгой последовательности математических строений есть своя внутренняя музыка, своя красота — жар холодных формул. Но как понимание структуры музыки требует музыкальной культуры, так и переживание красоты математики требует культуры математической. (А.Д. Александров)

В математике, как и во всякой иной науке, очень много романтики, но никогда не следует забывать о том, что изучение её — это не сплошной праздник. Нет, часто — это самые прозаические будни, когда надо рано вставать, поздно ложиться, много считать и постоянно думать, думать и думать. (Н.И. Кованцов)

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. (Г. Галилей)

Великой основой математики является принцип противоречия или тождества, т.е. положение о том, что суждение не может быть истинным и ложным одновременно, что, следовательно, А есть А и на может быть не А. Один этот принцип достаточен для того, чтобы вывести всю арифметику и всю геометрию, а стало быть, все математические принципы. (Г. Лейбниц)

Если бы геометрия так же противоречила нашим страстям и нашим интересам, как нравственность, то мы бы также спорили против неё и нарушали её вопреки всем доказательствам Евклида и Архимеда, которые мы называли бы тогда бреднями и считали полными ошибок. (Г. Лейбниц)

Арифметика еже есть счетная мудрость. Без сея мудрости ни один философ, ни один доктор не может быть. (Л.Ф. Магницкий)

Геометрия — правительница всех мысленных изысканий. (М.В. Ломоносов)

Алгебра — это лишь изображенная в символах геометрия, а геометрия — воплощенная в фигуре алгебра. (С. Жермен)

Чарующая красота теории чисел придала арифметике прелесть, которая сделала её любимой наукой величайших геометров. (К. Гаусс)

Если разуметь под алгеброй приложение арифметических операций к сложным величинам сякого рода, будут ли то рациональные, или иррациональные числа, или пространственные величины,то ученых браминов Индостана следует считать истинными изобретателями алгебры. (Г. Ганкель)

Алгебра — это язык, пользующийся не словами, а только математическими символами. Если этот язык символов нам знаком, то на него можно перевести интересующие нас выражения повседневного языка. (Д. Пойа)

Геометрия остается основным источником богатой и плодотворной математической интуиции, которая, в свою очередь, придает еще большие творческие силы математикам. Большинство математиков мыслит геометрическими схемами, даже если и следа не остается от этих «строительных» лесов, когда они представляют свой окончательный результат в аналитической форме. Высказывание Платона, что «геометрия приближает разум к истине», все ещё остается в силе. (М. Клайн)

Для большего всегда существует еще большее. (Анаксагор)

Бесконечное есть там, где, беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним. (Аристотель)

Рассуждая о бесконечном при помощи нашего ограниченного ума, мы приписываем бесконечному свойства, известные нам из вещей конечных и ограниченных. Это и вызывает затруднения. (Г. Галилей)

Четвертое измерение не противоречит чистой геометрии. (Б. Паскаль)

Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием. (Г. Лейбниц)

Нет науки, не связанной с математикой, которая, если она не должна быть основательно разработана, не требовала бы применения высшей математики. (Л. Эйлер)

На случай при великих открытиях наталкиваются лишь те, кто его заслуживает. (Ж. Лагранж)

Замечательно, что теория вероятностей, начавшая с изучения игр, возвысилась до важнейших предметов человеческого знания. (П. Лаплас)

Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению: она заставляет оценивать с точностью то, что справедливо умы чувствуют как бы инстинктом, часто не имея отдавать себе в этом отчета. Если принять во внимание аналитические методы, которые возникли из этой теории, истинность принципов, служащих ей основанием, утонченную и изящную логику, которой требует решение задач, учреждения общественной пользы, опирающейся на неё,и распространение, которое она получила и может еще получить при применении её к важнейшим вопросам натуральной философии и нравственных наук; если затем заметить, что даже в таких областях, которые могут нами руководить в наших суждениях, и что она нас учит предохранять себя от иллюзий, которые нас часто сбивают с пути, — мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений, и что было было бы очень полезно ввести её в систему народного просвещения. (П. Лаплас)

Духовный труд является во всем своем величии там, где он, не нуждаясь во внешних материальных средствах, получает свой блеск единственно от математического развития мыслей, истекающего из чистого умозрения. Какое-то неудержимое очарование, прославляемое всей древностью, присуще созерцанию математических истин, этим вечным отношениям между временем и пространством, проявляющимся и в звуках, и в числах, и в линиях. Усовершенствование духовного орудия исследований, математического анализа, сильно продвинуло взаимное оплодотворение идей, которое имеет такую же важность, как и самые богатства, порождаемые этими идеями. (А. Гумбольт)

Изо всех математических дисциплин теория дифференциальных уравнений самая важная… Она дает объяснения всех тех элементарных явлений природы, которые изменяются во времени. (С. Ли)

Евклид, однако, был совершенно прав: в математике не существует «царского пути». Даже тогда, когда проникают в её глубины со стороны проективной геометрии, — возникают в свое время те самые трудности, которые появлялись и в метрической геометрии, и они могут быть преодолены только тонкими, логическими исследованиями. (Ф. Клейн)

Анализ бесконечных — это самое сильно орудие мышления, изобретенное человеческим умом. (В. Смит)

Математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного. (Д. Гилберт)

Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечного, ни одна идея не оказала столь сильного и плодотворного влияния на разум, как идея бесконечного, но, с другой стороны, ни одно понятие не нуждается так в выяснении, как понятие бесконечного. (Д. Гилберт)

Теория множеств представляет собой высочайшее проявление математического гения, а также одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека. (Д. Гилберт)

Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от неё задачи, но она никогда не придумает ни одной. (А. Эйнштейн)

Можно сказать, что Ньютон был просто вынужден изобрести дифференцирование и интегрирование, чтобы иметь возможность развивать механику. (А.Д. Александров)